Я
в векторное поле скоростей v. Рассмотрим ее элемент dS и определим в некоторой точке этого элемента положительный орт нормали n и вектор поля v. Подсчитаем объемный расход среды через рассматриваемый элемент площади (рис. 1.4). Объем вещества, протекающий в единицу времени через площадку dS в направлении скорости V, заполняет объем цилиндра (построенного на dS как на основании) высотой h, равной проекции вектора скорости v на направление нормали к поверхности n dQ = h dS. Высота h определяется как скалярное произведение упомянутых векторов h = уП. Тогда dQ = (Vn) dS.
Полный поток рассчитывается как суперпозиция вкладов на каждой элементарной площадке, т.е. как поверхностный интеграл по всей площади
S:
Q = J vndS = J vn dS. (1.7)
(s) (s)
S
|
(1.8) |
|
Q = j) vndS = j) vn dS. (s) (s) |
тегралом по замкнутой поверхности
|
Рис. 1.4: Схема для определения объемного расхода |
При этом положительным считается направление внешней нормали к поверхности в данной точке. Это обстоятельство определяет знак величины потока вещества через поверхность, ограничивающую некоторый объем V: поток, вытекающий из объема V, считается положительным (произведение (v • n) > 0), втекающий внутрь объема — отрицательным (произведение (v • n) < 0). Наряду с объемным определяется массовый расход вещества G, кг/с через поверхность S:
G = J р (vn) dS = J р vn dS, (1.9)
(s) (s)
и по аналогии с (1.8) поток массы через замкнутую поверхность, ограни-
V
G = § р (vn) dS. (1.10)
(s)
Дивергенция векторного поля Если поток вещества через замкнутую по- SV
вопрос о производительности источников (стоков) вещества, находящихся V
эта величина равна
Q = V7 /lindS-
V
стягивается по произвольному закону к точке M так, что площадь поверхности S, ограничивающей этот объем, и величина объема V стремятся к нулю. При гидродинамической интерпретации потока вектора этот предел характеризует истинную удельную производительность источников вещества в точке M. Указанный предел называется дивергенцией[5] поля v в точке M и обозначается divv:
предыдущаяследующая
