В описании Лагранжа частная производная по времени от какой-либо величины соответствует скорости ее изменения для данной жидкой частицы. В эйлеровом же описании частные производные по x. и t являются компонентами градиента и скоростью изменения соответствующей величины в данной точке пространства, так что величина dv(xk,t)/dt уже не
t
Xfc, поскольку в момент времени t + At в точке Xk находится уже другая частица.
Найдем выражение для ускорения частиц жидкости в описании Эйлера.
At t xk
переместится в точку Xk + Axk. Тогда i-я компонента ускорения находится
как
|
W.i = lim j д^о |
v.(Xk + Axk, t + At) - v.(xk, t) At
dv dv'
|
= lim дг-> о |
v.(xk,t) + dxrkAxk + At - v.(xk,t)
At
Учитывая теперь, что
Axk
|
получаем |
lim —— = vk, д^о V At ) k'
|
(1.18) |
dv. dv. ( d d \
W. = — + = 7^7 + vk 7T~ v
dt dxk \ot oxk)
или в векторной форме
ttv dv
|
(1.19) |
W = — + (vV)v. d t
Аналогично находится скорость изменения произвольной (скалярной или векторной) величины
f для данной частицы. Эту скорость называют
материальной или субстанциональной
производной и обозначают df /dt или
Df /Dt. Частную же производную в эйлеровом описании df /dt называют локальной. Связь между субстанциональной и локальной производными имеет вид
d д
Jt = at+ {f v) (L2°)
Деформация жидкости и газа. Тензор скоростей деформации
Рассмотрим смещение произвольно выделенной в потоке жидкости (газа) точки M(f, t) за единицу времени. Новое положение точки M' отстоит от первоначального на расстояние v(f,t). Точка P, расположенная первоначально на расстоянии dr от точки М, займет положение Р', сместившись наг/(f + dr,t) (рис.1).
предыдущаяследующая