Угол между ними определяется из очевидного соотношения
cos( 2 — 2у) = sin 2у = 002Г\' ^
Здесь 2у ^мера искажения прямого угла в окрестности тА за единицу времени. Учитывая малость деформации сдвига, принимаем
sin2y ~ 2у; \df\ ~ \df1\; \dif!'\ ~ \dif>\.
Преобразуем (1.27) с учетом (1.22):
(df + (df1 V)v) (df2 + (df2 v)v)
2y =
\ df1 \ \ df2
ef1 ef2
вдоль соответствующих векторных отрезков, получим
df = f \ drf \, df = f2 \ df \, df df = f1 f = 0
(последнее выражение ^условие ортогональности векторных отрезков). Отсюда следует
2у = el ( f V)v + f (еlV)n. (1.28)
ef1 ef2
прямоугольной декартовой системы
i, j, k = в1, в2, вз
из (1.28) получим
2Y (dxk + dxj . (1-Щ
|
(1.30) |
|
dV = df [df х df3 ] |
Скорость относительной деформации объема среды находится аналогичным образом. Смешанное
произведение трех некомпланарных элементарных векторных отрезков df, df, df,
отложенных от точки А, равно элементарному объему dV,
построенному па векторах — сомножителях как на сторонах:
Используя представление о единичных векторах f, в2, f соответственно направленных отрезков, имеем:
dV = f [f х f ] \ df \ \ df \ \ df \. (1.31)
При смещении т. А за единицу времени в положение А' векторные отрезки вследствие деформации окрестности т.А преобразуются Bdf', df', df' соответственно и элементарный объем dV преобразуется в dV', определяемый аналогично (1.30),(1.31). Скорость относительной объемной деформации вблизи т. А рассчитывается по формуле
d5V dV'- dV .
^ = -HVT- (L32)
В первом приближении, полагая деформации малыми, имеем
в1 & в1, f2 ~ в2, в'з & вз.
Учитывая, что dr'k = dfk + (dfkV)v, преобразуем (1.32), используя свойство инвариантности смешанного произведения трех векторов относительно циклической перестановки сомножителей и пренебрегая величинами второго порядка малости:
d 5V (в~1 V)v [f х f ] + (fV)v [г х в1 ] + (в3 V)v [ё1 х f ]
—-------------------------------- = -------------------------------------- =П . (l.oo)
dt в1 [в2 х вз]
предыдущаяследующая