Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальной круглой трубе. Описание течения удобно провести в цилиндрической системе координат (r, p, z), в которой ось z ориентирована по направлению течения. Из соображений симметрии поле скоростей такого течения имеет вид V = (0, 0, Vz)• Предположение о ламинарном характере течения позволяет пренебречь силами инерции. В этом случае течение жидкости описывается системой уравнений непрерывности и движения (Навье-Стокса)
7 ^ dvz div v = ——= 0,
V2V = — gradp.
М
Как следует из уравнения непрерывности с учетом симметрии течения, Vz = Vz (r). Проекции уравнения Навье-Стокса на координатные оси r, p
приводят к результату
dp 1 dp dp dp
dr r dp , dz dz, p p z
Проекция уравнения Навье-Стокса на ось z приводит к системе дифференциальных уравнений:
1 dp
V vz = —— = const. М dz
(Тождественное равенство левой и правой частей полученного выражения,
rz
возможно лишь в этом случае). Дифференциальное уравнение для определения поля скоростей, таким образом, приобретает вид
V2 vz = 1 d (r ^ = const = Ci. (2.76)
r dr V dr J
Интегрируя это уравнение, получим
2
r
vz = Ci- + C2 ln (r) + C3.
r=
0) получим C2 = 0. Связь между копстаптами Ci и C3 устанавливается из граничного условия прилипания потока к стенке трубы при r = R:
R2
vzLr = 0, Сз = -Ci т,
откуда поле скоростей в поперечном сечении трубы описывается выражением
C1 / г)2 2\
vz = — ^(R - r ).
Величина константы C1 находится из интеграла для второй части исходного соотношения, определяющей поле давления вдоль оси трубы:
1 dp , п п 1 Ар
—— = const = C1, C1 =---------------- —,
предыдущаяследующая