V
среды. Форма и размеры объема в процессе движения претерпевают изменения, в то время как масса его сохраняется (изменение массы возможно только за счет переноса вещества гидродинамическим током через границы объема, что невозможно — относительное движение среды отсутствует, рассматриваемый объем — часть потока). Принципиально уравнение баланса имеет вид, аналогичный (2.2):
dA
"ГТ = QA + "А dt
AV
A = J dA = J р а dV.
V V
Материальная производная (1.20) от интеграла по объему V, состоящему из одних и тех же частиц среды, т.е. движущемуся вместе с жидкостью, вычисляется путем перехода под интегралом к переменным Лагранжа x = , t). Тогда интегрирование при любых t будет проводиться по фиксированному объему VЈ, который занимали частицы в начальный момент времени, и следовательно мы имеем право менять местами операции d/dt и интегрирования по VЈ.
Используя якобиан перехода J = J , к переменным Лагранжа,
д (Ј,ь Ј,2, Јз)
получим
d г d г г d
— р а dx dy dz = — р aJd Ј d Ј2 d Ј3 = ~г (р aJ) d V^.
dt dt dt
V V ^ V ^
Возвращаясь в последнем выражении к переменным Эйлера (обратное преобразование) запишем
/ Ј (р J) dVЈ = / [11] Ј (РJ) dV =
V^ V
=I (JJ р а + йр ")dV-
Принимая во внимание, что
1 dJ 7 ^
— —— = divv, J dt
с учетом (1.36) окончательно получим
dA г ( 1 ^ d \ 7Т г л da7тr
-i- = J р а divv + — р а dV = J р — dV. (2.10)
dt V d t V d t
предыдущаяследующая