Классификация сил, действующих в жидкости

Часть 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6

хз

Рис. 2.1: К построению тензора напряжений

Рассмотрим бесконечно малый элемент объема dV, образованный тремя координатными плоскостями и наклонной гранью, отсекающей на осях координат бесконечно малые отрезки dx1, dx2, dx3 (рис.2.1). Напряжения на элементарных площадках — гранях тетраэдра — равны соответственно а-1, о—2, о-з, (рассматриваются силы, действующие па внешние стороны граней тетраэдра dS1, dS2, dS3 со стороны окружающей среды, отсюда знак " — "индекса, указывающего ориентацию (направление внешней нормали) соответствующей площадки). Применим к рассматриваемому объему второй закон Ньютона:

dV ___ » ³

Р dV — = р dV ^——асс + Е о^-——k dSk. ^dT k=1

Используя представление площадки dSn в векторной форме в виде ndSn, можем представить элементарные площадки dSk, расположенные на координатных плоскостях, как проекции вектора n dSn на соответствующие координатные оси, нормальные данной координатной плоскости:

dSk = dSn nk,

где nk — проекции вектора нормали к наклонной грани на соответствующие оси.

Согласно третьему закону Ньютона напряжения поверхностных сил на внешней стороне граней тетраэдра равны по величине и противоположны по знаку напряжениям, действующим на внутреннюю сторону соответству-

о—k = — 0^, k = 1, 2, 3.

Элементарные площадки dSk = dx» dxj — бесконечно малые второго порядка малости, в то время как объем тетраэдра dV = dx^dxjdxk — объект третьего порядка малости.

Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, получим, учитывая приведенные выше замечания:

оП = Е 0k nk. (2.25)

k=1

Проекции напряжения 0П па координатные оси представляется равенством

On» = ^Е Okink, i = 1, 2, 3. (2.26)

k=1

Следовательно, девять величин [Oki] полностью характеризуют напряжение на произвольно ориентированной в пространстве площадке с заданным вектором нормали n. Объекты с одинаковыми индексами Оц представляют собой нормальные напряжения на соответствующим образом оринти- рованных площадках. Объекты Oki ^ПР^и i = k характеризуют касательные

о =

^/ 011 012 013 ^

°2 1 °2 2 °2 3 °31 °3 2 °3 3

Совокупность девяти величин [o"ki] образуеттензор напряжений.

предыдущаяследующая

Гидроэнергетика

Учебник:

Полезные ссылки:

Лекции:

Классификация сил, действующих в жидкости