Выражение (2.26), таким образом, может быть представлено в виде скалярного произведения, тензора напряжений о на вектор нормали к площадке n:
оп = о n. (2.27)
Расчет поверхностных сил, действующих на единицу объема
Полная величина поверхностной силы, действующей на произвольный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, находится как суперпозиция вкладов поверхностных сил на элементарных площадках dS (2.27), распределенных по всей поверхности S:
—>! = у соп dS = f о ndS = J Div о dV. (2.28)
S S V
(Использована теорема Остроградского - Гаусса).
Как видно из (2.28), поверхностная сила, отнесенная к единице объема среды, равна
К = Div а = Ј ^ (2.29)
k=1 dxk
Используя полученный результат, можно показать ([11]), что тензор на- о
°ik = °ki.
Идея доказательства этого утверждения заключается в следующем. Момент поверхностных сил, действующих на некоторый объем, аналогично суммарной поверхностной силе должен выражаться в виде интеграла по поверхности, ограничивающей этот объем.
Суммарный момент поверхностных сил, действующих на произвольный объем сплошной среды
M = j[r х Div о] • dV.
V
Проекции этого вектора можно представить в виде компонентов антисимметричного тензора [11]
3
Mik = у Е [xk (Div о)» — х» (Div ff)k] • d V =
v j=1
= / Ј (xk Sj —х» djH (2-30)
v j=1 V j j )
Преобразуем выражение под знаком интеграла в (2.30)
дgji dffjk = ( _ ч ( dxk _ dx
xk о xi о о (xk оj i xi оj k4 I оj i о °j k о
предыдущаяследующая