dx j dxj dxj V dx j dxj
Первая часть полученного выражения согласно теореме Остроградского -
S
V
г 3 d г 3
J Е d" (xk j — xi ffjk) d V = f J2 (xk j — xi ffjk) nj dS.
V j=1 dxj S j=1
Преобразование второй части производится с учетом очевидного соотношения
dxk = ^ ; dx» = ^
dxj kj' dxj ij Здесь 6k j' 6ij - дельта - символы Кронекера. Следовательно
dxk dxi) °ji d^ — °j k d^) = (°ji 6k j — °j k 6ij).
Mi k
|
/ |
3 ( dxk dxA г 3
(о^--------- о^—-) dV = (ffji 6kj — ffjk 6ij) dV =
v j=1 vj dxj j dx^ V j=1 j j j j
= / (tfki — aik) dV.
V
Окончательно выражение для вектора момента поверхностных сил приобретает вид
Mik = j Е (xk ffji — xi ffjk) nj dS — J (ffki — ffik) dV. (2.31)
S j=1 V
Для того, чтобы момент поверхностных сил, действующих на произвольный объем, выражался исключительно интегралом по поверхности, необходимо, чтобы ffk» = ffik, что и доказывает исходное утверждение.
2.3.2 Реология ньютоновских сред
Сдвиговые вязкие напряжения в общем случае можно представить пропорциональными скоростям деформации сдвига dv»/dxk согласно эмпирическому линейному закону Ньютона. Действительно, при v = 0 (или v =const) сдвиговые напряжения в среде должны обращаться в нуль из-за отсутствия относительного движения слоев жидкости (газа). С другой стороны, эти напряжения равны нулю и в том случае, когда жидкость совершает квазитвердое равномерное вращение, поскольку при таком движении отсутствует смещение частиц среды относительно друг друга и следовательно внутреннее трение также отсутствует. При равномерном вращении с угловой скоростью cJ скорость v равна векторному произведению [cc х r ]. Линейными комбинациями производных dv»/dxk, обращающимися в пуль при v = [cc х r ], являются суммы
dvi + dvk
dxk dxi
Вязкие напряжения, таким образом, должны зависеть именно от этих комбинаций производных, которые с точностью до множителя 1/2 совпадают с компонентами тензора скоростей деформации Ј. В состав последнего, как показано выше, входит величина скорости относительной объемной деформации d (ЈV)/dt = div(v), равная сумме диагональных компонент тензора Ј, которая определяет напряжения, обусловленные второй вязкостью. Для разделения сдвиговых и объемных деформаций выделим из состава Ј deeu- arnop — без дивергентный тензор, сумма диагональных компонент которого равна нулю. Компоненты девиатора, т.о., характеризуют исключительно скорости деформации сдвига:
предыдущаяследующая